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明敏 克雷西 發自 凹非寺

量子位 | 公眾號 QbitAI

【資料圖】

備受矚目的張益唐 零點猜想論文 第二稿，發布時間更明確了！

今年 或者 明年上半年 ，同時也在 準備投稿 了。

在阿里巴巴數學全球競賽專場講座上，張益唐親口透露了這一消息。

和參賽選手對話時，他表示目前還在對第二版論文進行調整和完善。

我確實把它做出來了，我的結果是對的……但是我沒有想到把它寫出來技術細節如此復雜。

而除了聊零點猜想的最新進展外，張益唐還分享了很多自己對黎曼猜想、數論、如何做數學的看法，還有生活上的一些趣事。

比如，他從來不看評教網站，但是有聽說學生對自己的評價 還不錯 ；寫零點猜想論文第二稿，他覺得很 不好寫、很頭疼 ……

量子位在不改變原意的基礎上，將對話進行了實錄整理，亮點如下：

完整內容，在此奉上~

（參加對話的參賽選手分別是：斯坦福大學張盛桐、多倫多大學王璟晗、北京大學陳澤坤以及數學愛好者快遞小哥孫金元）

□“論文第二版確實很不好寫、很頭痛”

斯坦福張盛桐 ：張老師您好，我是來自斯坦福大學的張盛桐，現在主要在做組合，也關注數論解析方面的內容，關于關于Siegel零點猜想的那篇論文，我其實沒有看懂。 所以好奇關于零點猜想最近有哪些研究方向？這個論文是如何產生的？

張益唐 ：這個事情很有意思。關于零點猜想可能發表的論文不多，但是我和很多專家聊過，大家其實都知道有一個可能的方向—— 我們是要證明Landau-Siegel零點不存在 。

如果我假設它存在，或者在一定范圍內存在。這個問題本來是一個單獨的Siegel L函數的零點，我可以將它和一個很大的family of the L函數的零點分布連在一起。在很大的family of L函數的零點分布上會有一些非常強的結果，這個事情很有意思，而且它可以得出一個非負的不等式。

因為我順便想到Riemann ζ 函數和Dirichlet L 函數，如果它要乘上一個相對簡單的γ因子的話，那么它在1/2這條線上，就它實部等于1/2這條線上，它可以取實，這是可以從內函數方程式得出來的，它就是個實函數。

如果是實函數，那么它肯定是連續、可微，它有一個中值定理，如果它在一個區間上不等于0，那么它就永遠是正的，或者永遠是負的。于是我能得出一個正的不等式，給出一定的函數，對每一個這樣的L函數，在那條線上一定區間里，有一個表達式一定都是非負的。

于是，有點像這個東西的想法。我給它去呈現一個非負的東西，然后再去求和，如果我能證明乘出來的這個非負東西求和是負的話，那就出現了矛盾。 出現矛盾就說明，Landau-Siegel零點不存在 。

去年寫的那個東西把這個有點搞復雜了，但本質上就是干這個事情。

我也可以確定我那個結果是對的，但我確實沒把它寫好。 確實現在很頭疼，非常不好寫 。但我還在想進一步簡化，能不能把它寫清楚。

我的第二版很快也會公布出來， 同時也在準備投稿了 。現在就處于這么一個狀態。

□“我講課非常謹慎、比較下功夫”

斯坦福張盛桐 ：我有聽說您上課非常受同學歡迎。

張益唐 ：你從哪里看到的？

斯坦福張盛桐 ：Rate my professor（北美非常著名的一個評教網站）。

張益唐 ：哦是吧，因為我從來不看這個，那你覺得我剛才講的好不好哈哈？

斯坦福張盛桐 ：非常好。

張益唐 ：是嗎？那謝謝你。對于教課，我覺得你們如果之后如果當教授、教課要記住一個東西，我們數學里面講充要條件。 真正懂這個東西，是你能教會、教好的必要前提，但不是充分條件，懂了不見得能講好 。

因為我知道這一點，所以我在講課的時候還是比較謹慎、比較會下功夫的。對于評價好不好，我也沒有去網上看， 反正聽別人說大家對我評價還不錯 。

△張益唐上課，圖源：北京大學

□很多東西看似不可能，但下決心去做還是能有新發現

多倫多大學王璟晗 ：張老師您好，我是王璟晗，現在在多倫多大學讀本科，同時是哈佛大學的科研助理。 您認為我們距離真正解決哥德巴赫1+1猜想還需要多久？目前這個方向上科學家們的主流路線是什么？

張益唐 ：據我所知1+1目前沒有什么人在做，因為實在是做不動。但具體還有多少距離，數學發展其實很難預測。

我舉一個例子，哥德巴赫猜想差不多在300年以前被提出，它和費馬大定理不同。費馬大定理在19世紀的時候已經蓬勃發展了，而且推動了交換代數、代數數論等方面的發展，產生了很多成果。但哥德巴赫猜想一直到20世紀初，都還一點兒都做不動，只能做一些驗證。

順便再講一個例子，在1900年國際數學家大會上， 大衛·希爾伯特 提了23個問題，但實際上是把黎曼假設、哥德巴赫猜想、孿生素數猜想歸在一個問題里， 他希望人們能夠通過證明黎曼假設以后對素數有更多了解，然后再來做哥德巴赫猜想 。

△德國數學家大衛·希爾伯特

到了1920年時，當時著名數學家哈代還說過一句話， 哥德巴赫猜想可能是所有沒有解決的數學問題里最困難的一個 。那時候大家都悲觀得不得了，可是也幾乎就在同時，馬上有了好幾方面突破。一個就是瑋哥·布朗（Viggo Brun）用了 篩法 ，后來還有一個方向叫 園法 ，即使這樣做到了60年代，1+5、1+4、1+3都在不斷做了，可是到了1+3的時候，人們認為已經到頭了，篩法已經到頂峰了。

△瑋哥·布朗（Viggo Brun）

陳景潤在1966年《科學通報》上宣布他做出來了1+2，但是他沒有給出具體的證明。就是我說的第三個集合，{x-p1p2p3}。于是人們認為，這個東西還是得用老辦法，就是x-p，不是x-p1p2p3。

當時好像有一個著名的數學家在陳景潤發布結果后做了一場演講，表示陳景潤不可能做出來1+2證明，因為X-P達不到這個精度。

這只是他沒有想到x-p可以變成x-p1p2p3， 陳景潤工作的關鍵也是完成了這個轉換 。這其中還牽扯到很多很復雜的問題比如余項估計，都被他克服了。所以陳景潤1973年的成果出來后，當時轟動的不得了。于是下面又有一個問題出來，1+1證明怎么辦？在50年之后的今天，人們認為目前方法無法做出來。

甚至有一種說法認為，從1+2證明到1+1證明之間的距離，比哥德巴赫猜想到1+2證明之間的距離還要大。

△陳景潤1966年證明“1+2”的論文手稿

但是不能否認一樣，這就是數學尤其是數論，也可能在過一兩年后有一個特別聰明的人，比如像你們這樣的年輕人，就能想出一個辦法一下子突破，這種可能性不是沒有的。

而且我希望你們真的有興趣，不過也不用非要下決心一定做出來 （當然有決心也是好的） ，有時也有現實的考慮，但至少我們要關心這個問題。

還是那句話， 數論里很多東西都是意想不到的 。

這里我順便提一下，我做的這個素數孿生證明是2013年，在這幾年前斯坦福有一個叫America Institute of Mathematics，AIM的獨立非營利組織，現在好像又要搬到加州理工去了。那里他們專門搞了一個workshop（研討會），把所有這方面的專家都請過來，就說素數孿生他就差一步，能不能突破，但當時 最后結論非常悲觀 ，誰都認為這不可能突破。

我沒有參加這個會，不知道這么悲觀，但是我最后把它給突破了 。

所以很多東西看起來是不可能的，但是如果你下定決心去做，還是能發現很多東西的，尤其是在解析數論領域。 我希望我們的同學還是應該對自己有一定的信心 。

□x=p+1的情況沒必要做太多考慮

北京大學陳澤坤 ：張老師您好，我是陳澤坤，現在在北京大學讀博士，學的也是數論。我問一個技術上的小問題，您剛剛分享的1+2證明里，好像也沒有排除x-p是1的情況，是不是也存在x=p+1的情況？

張益唐 ：這樣的話x值會很限制，它沒有排除掉這個情況，但是那些x不多，我們這里要解決的問題是每一個x，都是兩個素數之和。比如x=p+1，它也不是兩個素數之和，1不是素數，所以這個問題應該一般來說不是很重要。

北京大學陳澤坤 ：所以最后是能找出來很多組嗎？有一組是x=p+1沒關系，是這個意思嗎？

張益唐 ：說到這里還專門有一個問題叫哥德巴赫猜想的例外集合。比如說給定一個很大的數y，在小于等于y的偶數里，最多有多少個不是兩個素數的和？它有一個上界估計，那只是y的一個次方，那個當然是次方小于1的了，這方面現在還可以繼續做。最早應該是華老（華羅庚）和另外幾個人做的。

幾乎所有的素數偶數都是兩個素數之和，這是另外一個問題。至于x=p+1，那我就去定義這個x=素數+1，我覺得這個可能沒有太多必要。

北京大學陳澤坤 ：所以這相當于是另外一個方向了嗎？

張益唐 ：當然了，數論有時候就會這樣。我們都知道黎曼假設有很多很多方向，但是有一天如果真的做了出來，那么一些其他方向的結果也就都不需要了。

□越好的數學應該是越樸素的

快遞小哥孫金元 ：張老師您好，我是一個快遞小哥，平常很喜歡數學，會趁著上班間隙學數學。我剛剛聽您講到陳景潤1+2證明，這看上去是一個非常高大上的證明，但過程其實非常樸素，所以從心底非常佩服數學家的工作。

張益唐 ：數學這個東西，用你的話來講，看上去高大上，但是一旦真正進入領域后，就會發現 越好的數學應該是越樸素的 。不樸素的就是故弄玄虛。當你弄懂了這個東西，想法就是一步一步，人類科學或者思維的發展，數學是要非常講究邏輯性的，但是我們現在能想到的這些技巧，因為很多人在想的時候，他已經把自己的思維個束縛住。

比如做篩法第一個類集合，但是想做的就是n(x-n)，那個時候人們都是做這東西，能不能直接把p弄進去？

如果直接弄進去會有一個問題，要把x-p里小的數因子去掉，如果想要去掉，先要估計出有多少，數因子個數越少一般會估計越精確，但想要估計出來是非常困難的。

但是n(x-n)這方面的空間還是相對容易的，所以那時候就沒有人往那邊去想。

不過匈牙利數學家Alfréd Rényi就想到，為什么我不能考慮這個集合？也比如陳景潤做到x-p1p2p3，他公布后也有人表示懷疑，因為沒有人想到對這個集合去做。

所以我認為 做數學的思路要盡量寬一點 ，當你發現自己在鉆牛角尖的時候，就停一下、往回走，回到出發點，看自己是怎么一步一步走到這里來的，這中間有沒有別的東西值得做。當你回過頭來再去想這個問題，你可能會發現一些新內容。

還有不管你在想什么問題，我們的思路永遠會有局限性，最好提醒一下自己： 你想的這個東西，只是一個更大、更完整的特殊情況，要再這樣想想思路才能開闊 。

這里就像是我們說篩法等方式，最后都涉及到一個問題是，要找出一個函數。陳景潤的證明里說這個函數在素數的值應該等于1，或者換一換也可以，其他地方就要大于0。

其實從布朗的篩法開始，就發現了一些很巧妙的東西，但它有很強的組合性，而且很復雜，這個東西在一定條件下就是大于等于0。

但是塞爾伯格就換了一種，有人說他的想法別出心裁。干脆就先取一個實函數，不管究竟大于0還是小于0，最后要這個函數的平方。實函數的平方最后大于0，所以塞爾伯根的篩法是非常有用的，我們也在不斷用這個想法。

但是具體的我是有點猶豫，要不要講我方法里那個f(m)的平方、g(m)的平方在f(n)到底怎么取，這又牽扯到篩法里一個很大的問題了，表達式復雜得不得了，我只能先提一下，以后我們有機會再講得更細。

快遞小哥孫金元 ：還有一個問題想請教張老師，是如何克服做數學不被人理解？以及過程中的枯燥無聊？

張益唐 ：第一，不要去關注別人怎么想你，想多了會分心；第二，做數學要耐得住寂寞，90%以上的時間是自己一個人悶頭做，不是經常有激動人心的結果，成年累月做數學后有幾個結果已經是非常不錯的了。

□中國數論學派很會算的傳統不要丟

組委會 ：謝謝張老師的回答，今天線上也有不少關心數學的網友和媒體來圍觀直播，他們也提了一些問題，我們摘取了其中兩個來向張老師提問。

第一個問題來自量子位：您不止一次在公開分享中討論“陳景潤證明1+2”，為什么想多次探討這一問題？之前您還表達過“中國數論學派很會算的傳統不要丟掉”，可以分享下背后的思考嗎？陳景潤先生給您在學術和個人生活上都帶來了哪些影響？

張益唐 ：首先從我個人來講， 非常佩服陳景潤 ，他確實非常會算。

如果沒有他那個功夫的話，他做不成。而我佩服他的主要還是在那樣的條件下完成這個工作。現在我們計算Landau-Siegel零點的結果，用一個普通的數學軟件就能算出來。但是陳景潤那時候用的是 算盤、對數表和計算尺 。 據說他的草稿紙就裝了好幾麻袋，我是相信的 。

尤其是他1966年發表的論文《表達偶數為一個素數及一個不超過兩個素數的乘積之和》， 寫了200多頁 ， 北京大學閔嗣鶴教授給他逐字逐句檢查，最后才確定完全是對的 。這個事現在對于我來說，都是不可思議的。

為什么p1是在這個區間段、p2是在另一個區間段，這其中是需要經過很多計算的。而且他每次最后都是一些數值計算，經常是一些重積分，都是因為他經過大量的計算之后，才能發現一些有用的規律。

我認為數論，至少在解析數論方面，將來還是有很多東西需要算。而本來中國數論學派的傳統在這方面是擅長的，所以我希望它不要被丟掉，因為這是有用的。

另外我還說一句，作為過來人，我非常佩服陳景潤，應該說他對我也有影響，就像他對我們一代人都有影響一樣。

組委會 ：追問一下張老師，在目前計算機時代、甚至AI時代來臨，“會算”這樣一個傳統，它的價值我們該如何理解？

張益唐 ：我現在對于AI的理解不是AI能取代人、戰勝人類，它可以提供非常快速的計算，或者一些有邏輯思維的東西，但是目前我理解AI還是需要靠人。

問題是人提出來的 。AI再強大，也是需要輸入一個問題進去的。當然我對AI的發展前程是很樂觀的，它能夠幫助人們去做很多事情。

但我認為還是需要人，并且應該計算。不是做100+200這種計算，而是你能否把這些關系式、公式列出來，這也是一種廣義上的算。

□論文第二版今年或明年上半年發布

組委會 ：下一個問題來自知乎網友，您前面提到了關于零點猜想的工作，我記得您論文發表之后引起很大反響。這些反響中有沒有哪些是超出您預期的？以及關于零點猜想工作有什么最新進展嗎？

張益唐 ：首先我想說那篇論文不是正式發表，只是先上傳arXiv上，想讓大家看一看。

但是我沒有想到的是，把這個東西寫出來技術細節會如此復雜，所以我現在還需要去修改。這個結果怎么樣？我還是那句話，我確定是把它做出來了，我的結果是對的。我的第二稿會比第一稿再改進一些。

預計發布時間會在今年或者明年上半年 。

□做數學，基本功很重要

組委會 ：我們阿里巴巴全球數學競賽每年都有5萬多選手來報名，在這里有數學專業學生和研究者，更多是來自各行各業的數學愛好者。對這些數學愛好者，您有什么寄語嗎？

張益唐 ：就是注意你的數學基礎，你必須有足夠的功底。你可以愛好數學，但如果真的要做數學，基本功的訓練還是非常重要的。

斯坦福張盛桐 ：最后想再問一個問題，我想知道您認為零點猜想證明論文中最主要的創新點是什么？

張益唐 ：我構造了一個幾乎是不可能的函數。這個函數帶進去，最后就能假設零點存在，推倒出矛盾，最后證明零點不存在。

以上是此次張益唐和阿里巴巴全球數學大賽選手對話的全部內容。

值得一提的是，在對話第二天， “張益唐力挺‘陳景潤證明1+2’的研究意義” 話題登上了知乎熱榜。張益唐本人也親自回答了這一問題。

其中，他再次強調了陳景潤在學術上的貢獻以及做學問的精神。

陳景潤對于當代中國數學學子也有啟發意義，那就是做數學研究膽子要大、立意要高。 像數論會有一個特點，有些問題歷史悠久，做了幾百年誰都做不出來。這時候，有些人就會打退堂鼓：別人也都挺聰明的，做了那么久，都沒做出來，我能做出來嗎？

事實上， 中國的年輕人不比國外的差，甚至要更聰明，我們應該志存高遠。 當然，我們一定要把基本功練扎實，避免眼高手低，很多東西到最后避不開具體算，不要下不了手。希望中國年輕人在科研上創造新的奇跡。

如今，距離陳景潤證明1+2工作已經過去了五六十年，但依然具有很強的創新意義。

故此，在此次直播中，張益唐也帶來了主題為《 陳景潤的加權篩法和素數之間的有界距離 》的分享。

具體內容，我們進行了梳理整理

張益唐分享的主題是 陳景潤的加權篩法和素數之間的有界距離問題 。

這關系到數學界的兩個重要猜想——哥德巴赫猜想和孿生素數猜想。

他介紹，這兩個內容看似不相關，但本質上都是篩法，只是表現形式有所差別。

篩法創立之初的用途是制作素數表，隨著研究的深入開始發展出分支，其中就包括陳景潤的加權篩法。

□哥德巴赫猜想與陳景潤的加權篩法

張益唐從哥德巴赫猜想的概念和歷代數學家逐步接近的過程開始講起。

哥德巴赫猜想說，任意一個不小于6的偶數都能表示成兩個奇素數的和。

數學界將其稱為“1+1”，到目前為止還沒有人能夠證明，而陳景潤證明了它的前一步“1+2”，即任意一個不小于6的偶數都能表示成 一個奇素數 與 兩個奇素數之積 的和。

不妨設不大于y的所有素數的乘積為P(y)。

假設x是一個大偶數，欲證其為兩個素數之和，只需證明下面這個集合為非空集合：

(a,b)表示a和b的最大公因數

如果x-p沒有小于等于x1/2的素因子，則x-p一定是素數。

但遺憾的是，到目前為止還沒有人能夠證明這個集合非空，即無人能證明“1+1”。

不過張益唐介紹了歷代數學家們從“9+9”、“2+3”……逐漸接近“1+1”的過程。

（“m+n”則表示m個奇素數之積和n個奇素數之積的和。）

與“1+1”同理，如果下面的集合為非空集合：

則必存在小于x的整數p滿足x-p有至多兩個素因數。

陳景潤從集合S1開始，證明了其中存在素數p滿足x-p在x1/10和x1/3之間至多有一個素因數p1，以及最多一個大于x1/3的素因數p2。

陳景潤證明的一個關鍵步驟是下面這個集合當中元素的數量：

其中p1、p2、p3均為素數，且有：

陳景潤發現，集合S2和下面的集合中的元素相同：

于是問題就變成了估計集合S3中的元素數量。

那么具體應該如何估計呢？

我們不妨假設函數g(n)在n是素數時值為1，其他情況未知，但g(n)2為一個很小的正實數。

于是集合S3中的元素數量上限不超過下面的表達式：

而這個求和式的上限求解方法，張益唐放到了下一環節進行講解。

□孿生素數猜想與素數之間的有界距離問題

我們不妨假設函數ρ(n)當n為素數時值為1，否則為0。

那么，孿生素數猜想則可以表示為滿足下式(當且僅當n和n+2都是素數時成立)的n值有無數個：

設一系列非負整數m0~mk滿足：

假設存在這樣一個函數f(n)

當且僅當下面的數列中包含兩個距離不超過mk的素數時，f(n)>0。

為了證明我們的結論，只需證明存在一個mk<7×107的這樣的數列滿足對任意x>0均有n>x使得f(n)>0。

下式中，c(n)是和x相關的實函數，我們的目標就是構建這樣一個系數c(n)使得下式恒大于0，以保證在(x,2x)區間上存在整數n使f(n)>0。

最終，這一結論在2013年得到了證明，上一環節中集合元素數量上限的求解也使用了這種方法。

以上為此次專場講座的全部內容，讓你印象最深刻的金句or觀點是什么？

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